Hauptebene
Die wichtigsten Stammfunktionen
| f(x) = | F(x) = |
| xn |  |
| ex | ex + C |
 |
ln x + C |
| sin x | -cos x + C |
| cos x | sin x + C |
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Hat F die Ableitung f, so nennen wir F eine Stammfunktion von f.
Mit F sind alle Funktionen G = F + C (mit C ∈ ℜ) ebenfalls Stammfunktionen von f.
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Wechselt an der Stelle xW der Graph der Funktion f von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung (oder umgekehrt), so heißt xW Wendestelle der Funktion f.
Bei einem Krümmungswechsel liegt eine Extremstelle der Ableitungsfunktion f' von f vor.
xW ist Wendestelle ⇐ f''( xW ) = 0 ∧ f'''( xW ) ≠ 0.
Gilt zusätzlich f'( xW ) = 0, so handelt es sich um eine Sattelstelle.
Die zugeörigen Punkte heißen Wende- bzw. Sattelpunkte (letztere auch Terrassenpunkte).
Beispiel (W ist Wendepunkt):
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Wächst der Funktionswert f(x) über alle Grenzen, wenn sich der Wert von x immer mehr dem Wert von xp nähert, so heißt xp Polstelle.
Die Geraden mit der Gleichung x = xp heißen Asymptote.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
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Verläuft der Graph der Funktion f an der Stelle xE lokal parallel zur x-Achse, so sprechen wir von einer Extrem- oder Sattelstelle.
Notwendig für den x-Achsen-parallelen Verlauf des Graphen ist, dass eine Nullstelle der ersten Ableitung von f vorliegt: f'( xE ) = 0.
Hinreichend für ein Extremum ist, wenn sich das Krümmungsverhalten des Graphen in E( xE | f( xE )) nicht ändert, also muss zusätzlich gelten f''( xE ) ≠ 0.
Weil es Ausnahmen beim hinreichenden Kriterium gibt, gilt folgende Bedingung:
xE ist Extremstelle ⇐ f'( xE ) = 0 ∧ f''( xE ) ≠ 0.
Das Zeichen "⇐" lesen wir: "... unter der Voraussetzung, dass ...".
Ist f''( xE ) < 0, dann liegt eine Maximalstelle vor. Der zugehörige Punkt heißt Hochpunkt.
Ist f''( xE ) > 0, dann liegt eine Minimalstelle vor. Der zugehörige Punkt heißt Tiefpunkt.
Eine Sattelstelle liegt vor, wenn xE gleichzeitig eine Wendestelle ist, also f''( xE ) = 0 oder
xE ist Sattelstelle ⇐ f'( xE ) = 0 ∧ f''( xE ) = 0 ∧ f'''( xE ) ≠ 0.
Statt "Sattelstelle" ist auch der Begriff "Terrassenstelle" gebräuchlich. Der zugehörige Punkt heißt "Sattelpunkt" bzw. "Terrassenpunkt".
Beispiel (H ist Hochpunkt, T ist Tiefpunkt und S ist Sattelpunkt):
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