Die wichtigsten Stammfunktionen
f(x) = F(x) =
xn
ex ex + C

ln x + C

sin x -cos x + C
cos x sin x + C

 

 

Hat F die Ableitung f, so nennen wir F eine Stammfunktion von f.

 

Mit F sind alle Funktionen G = F + C (mit C ∈ ℜ) ebenfalls Stammfunktionen von f.

 

 

 

 

 

Wechselt an der Stelle xW der Graph der Funktion f von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung (oder umgekehrt), so heißt xW Wendestelle der Funktion f.

Bei einem Krümmungswechsel liegt eine Extremstelle der Ableitungsfunktion f' von f vor. 

 

 

xW ist Wendestelle ⇐ f''( xW ) = 0 ∧  f'''( xW ) ≠ 0.

Gilt zusätzlich f'( xW ) = 0, so handelt es sich um eine Sattelstelle.

Die zugeörigen Punkte heißen Wende- bzw. Sattelpunkte (letztere auch Terrassenpunkte).

 

Beispiel (W ist Wendepunkt):

 

 

 

 

 

 

Wächst der Funktionswert f(x) über alle Grenzen, wenn sich der Wert von x immer mehr dem Wert von xp nähert, so heißt xp Polstelle.

Die Geraden mit der Gleichung x = xp heißen Asymptote.

 

Beispiel 1: 

 

Beispiel 2:

 

 

 

 

 

Verläuft der Graph der Funktion f an der Stelle xE lokal parallel zur x-Achse, so sprechen wir von einer Extrem- oder Sattelstelle.

 

 Notwendig für den x-Achsen-parallelen Verlauf des Graphen ist, dass eine Nullstelle der ersten Ableitung von f vorliegt: f'( x) = 0.

 

Hinreichend für ein Extremum ist, wenn sich das Krümmungsverhalten des Graphen in E( xE | f( xE )) nicht ändert, also muss zusätzlich gelten f''( xE ) ≠ 0.

 

Weil es Ausnahmen beim hinreichenden Kriterium gibt, gilt folgende Bedingung:

xE ist Extremstelle ⇐ f'( xE ) = 0 ∧  f''( xE ) ≠ 0.

Das Zeichen "⇐" lesen wir: "... unter der Voraussetzung, dass ...".

Ist f''( xE ) < 0, dann liegt eine Maximalstelle vor. Der zugehörige Punkt heißt Hochpunkt.

Ist f''( xE ) > 0, dann liegt eine Minimalstelle vor. Der zugehörige Punkt heißt Tiefpunkt.

 

Eine Sattelstelle liegt vor, wenn xE gleichzeitig eine Wendestelle ist, also  f''( xE ) = 0 oder

xE ist Sattelstelle ⇐ f'( xE ) = 0 ∧  f''( xE ) = 0 ∧  f'''( xE ) ≠ 0. 

Statt "Sattelstelle" ist auch der Begriff "Terrassenstelle" gebräuchlich. Der zugehörige Punkt heißt "Sattelpunkt" bzw. "Terrassenpunkt".

 

Beispiel (H ist Hochpunkt, T ist Tiefpunkt und S ist Sattelpunkt):

 

 

 

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